微积分学示例

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3} d x$ ，以便 $3 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

解题步骤 1.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

解题步骤 2.3

将 $3$ 移到 $\tan^{2} (u)$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u)$ 的形式。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 7

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 8

组合 $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 和 $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 。

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- u + \tan (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

解题步骤 10.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

解题步骤 10.4

将 $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ 和 $0$ 相加。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

将 $- \frac{π}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2.3

重写表达式。

$- π + 3 \sqrt{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- π + 3 \sqrt{3}$

小数形式：

$2.05455976 \dots$

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