微积分学示例

$f (x) = | x + 1 |$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = | (x + h) + 1 |$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $| x + h + 1 |$ 。

$| x + h + 1 |$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - (| x + 1 |)}{h}$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $| x + 1 |$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

解题步骤 5

设置极限为左极限。

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

解题步骤 6

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ 的极限值。

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 7

设置极限为右极限。

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

解题步骤 8

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ 的极限值。

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

解题步骤 8.2

因为 $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 9

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

解题步骤 10

微积分学 示例

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