微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 75 x + 3$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 75 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 75 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 75$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 75 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 75 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3 x^{2} - 75$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 75$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 75$ 。

$3 x^{2} - 75$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 75 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $75$ 。

$3 x^{2} = 75$

解题步骤 2.3

将 $3 x^{2} = 75$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x^{2} = 75$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{75}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $75$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $5, - 5$ 。

$5, - 5$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} - 75$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 - 75$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = 108 - 75$

解题步骤 5.2.2

从 $108$ 中减去 $75$ 。

$f' (- 6) = 33$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $33$ 。

$33$

解题步骤 5.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $33$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 5, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 75$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 75$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 75$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $75$ 。

$f' (0) = - 75$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 75$ 。

$- 75$

解题步骤 6.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- 75$ 。由于其值为负，函数在 $(- 5, 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 5, 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 75$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 75$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 108 - 75$

解题步骤 7.2.2

从 $108$ 中减去 $75$ 。

$f' (6) = 33$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $33$ 。

$33$

解题步骤 7.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $33$ 。由于其值为正，函数在 $(5, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(5, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

递减于： $(- 5, 5)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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