微积分学示例

$V = 3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ , $t = 0.002$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 \sin (186 t) \cos (186 t)$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [\sin (186 t) \cos (186 t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \sin (186 t)$ 且 $g (t) = \cos (186 t)$ 。

$3 (\sin (186 t) \frac{d}{d t} [\cos (186 t)] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 186 t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $186 t$ 。

$3 (\sin (186 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$3 (\sin (186 t) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 3.3

使用 $186 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (\sin (186 t) (- \sin (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 4

对 $\sin (186 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 5

对 $\sin (186 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- (\sin^{1} (186 t) \sin^{1} (186 t)) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (- {\sin (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (- \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 7.2

因为 $186$ 对于 $t$ 是常数，所以 $186 t$ 对 $t$ 的导数是 $186 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 (- \sin^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 7.3

将 $186$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [t] + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) \cdot 1 + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 7.5

将 $- 186$ 乘以 $1$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) \frac{d}{d t} [\sin (186 t)])$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 186 t$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $186 t$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [186 t]))$

解题步骤 8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [186 t]))$

解题步骤 8.3

使用 $186 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos (186 t) (\cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t]))$

解题步骤 9

对 $\cos (186 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

解题步骤 10

对 $\cos (186 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{1} (186 t) \cos^{1} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + {\cos (186 t)}^{1 + 1} \frac{d}{d t} [186 t])$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \frac{d}{d t} [186 t])$

解题步骤 13

因为 $186$ 对于 $t$ 是常数，所以 $186 t$ 对 $t$ 的导数是 $186 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) (186 \cdot 1))$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $186$ 乘以 $1$ 。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + \cos^{2} (186 t) \cdot 186)$

解题步骤 15.2

将 $186$ 移到 $\cos^{2} (186 t)$ 的左侧。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t) + 186 \cdot \cos^{2} (186 t))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$3 (- 186 \sin^{2} (186 t)) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

解题步骤 16.2

合并项。

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解题步骤 16.2.1

将 $- 186$ 乘以 $3$ 。

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 3 (186 \cos^{2} (186 t))$

解题步骤 16.2.2

将 $186$ 乘以 $3$ 。

$- 558 \sin^{2} (186 t) + 558 \cos^{2} (186 t)$

解题步骤 17

计算在 $t = 0.002$ 处的导数。

$- 558 \sin^{2} (186 (0.002)) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简每一项。

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解题步骤 18.1.1

将 $186$ 乘以 $0.002$ 。

$- 558 \sin^{2} (0.372) + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

解题步骤 18.1.2

将 $- 558$ 乘以 $\sin^{2} (0.372)$ 。

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (186 (0.002))$

解题步骤 18.1.3

将 $186$ 乘以 $0.002$ 。

$- 73.72142367 + 558 \cos^{2} (0.372)$

解题步骤 18.1.4

将 $558$ 乘以 $\cos^{2} (0.372)$ 。

$- 73.72142367 + 484.27857632$

解题步骤 18.2

将 $- 73.72142367$ 和 $484.27857632$ 相加。

$410.55715264$

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