微积分学示例

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1

将各个平面方程转化为标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y - x = 0, y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $\sqrt[4]{x}$ 。

$y - x = 0, y - \sqrt[4]{x} = 0$

解题步骤 2

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 3

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 3.1

$P_{1}$ 为 $y - x = 0$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ - 1, 1, 0 ⟩$

解题步骤 3.2

$P_{2}$ 为 $y - \sqrt[4]{x} = 0$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ - 1, 1, 0 ⟩$

解题步骤 3.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$- 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简点积。

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解题步骤 3.4.1

去掉圆括号。

$- 1 \cdot - 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$1 + 1 + 0$

解题步骤 3.4.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 + 0$

解题步骤 3.4.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4

下一步，使用点 $(p, q, r)$ 的原点 $(0, 0, 0)$ 和标准向量 $2$ 的 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，建立一组参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与 $P_{1}$ $y - x = 0$ 垂直的直线。

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 5

将表达式 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 代入 $P_{2}$ $y - \sqrt[4]{x} = 0$ 的方程。

$(0 + 1 \cdot t) - \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t} = 0$

解题步骤 6

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 6.1

求解 $- \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

化简 $0 + 1 \cdot t - \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $0$ 和 $1 \cdot t$ 相加。

$1 \cdot t - \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t} = 0$

解题步骤 6.1.1.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$t - \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t} = 0$

解题步骤 6.1.2

从等式两边同时减去 $t$ 。

$- \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t} = - t$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${(- \sqrt[4]{0 - 1 \cdot t})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{0 - 1 \cdot t}$ 重写成 ${(0 - 1 \cdot t)}^{\frac{1}{4}}$ 。

${(- {(0 - 1 \cdot t)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${(- {(0 - 1 \cdot t)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

从 $0$ 中减去 $1 \cdot t$ 。

${(- {(- 1 \cdot t)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

${(- {(- t)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.3

对 $- t$ 运用乘积法则。

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{4}} t^{\frac{1}{4}}))}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.4.1

移动 ${(- 1)}^{\frac{1}{4}}$ 。

${({(- 1)}^{\frac{1}{4}} \cdot - 1 t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4.2

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.4.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${({(- 1)}^{\frac{1}{4}} \cdot {(- 1)}^{1} t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${({(- 1)}^{\frac{1}{4} + 1} t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

${({(- 1)}^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4.4

在公分母上合并分子。

${({(- 1)}^{\frac{1 + 4}{4}} t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.4.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

${({(- 1)}^{\frac{5}{4}} t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.5

对 ${(- 1)}^{\frac{5}{4}} t^{\frac{1}{4}}$ 运用乘积法则。

${({(- 1)}^{\frac{5}{4}})}^{4} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.6

将 ${({(- 1)}^{\frac{5}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 1)}^{\frac{5}{4} \cdot 4} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.6.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.6.2.1

约去公因数。

${(- 1)}^{\frac{5}{4} \cdot 4} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.6.2.2

重写表达式。

${(- 1)}^{5} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$- {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.8

将 ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.8.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.8.2.1

约去公因数。

$- t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.8.2.2

重写表达式。

$- t^{1} = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.2.1.9

化简。

$- t = {(- t)}^{4}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简 ${(- t)}^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

对 $- t$ 运用乘积法则。

$- t = {(- 1)}^{4} t^{4}$

解题步骤 6.3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- t = 1 t^{4}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将 $t^{4}$ 乘以 $1$ 。

$- t = t^{4}$

解题步骤 6.4

求解 $t$ 。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $t^{4}$ 。

$- t - t^{4} = 0$

解题步骤 6.4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $- t - t^{4}$ 中分解出因数 $- t$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 $- t$ 和 $- t^{4}$ 重新排序。

$- t^{4} - t = 0$

解题步骤 6.4.2.1.2

从 $- t^{4}$ 中分解出因数 $- t$ 。

$- t \cdot t^{3} - t = 0$

解题步骤 6.4.2.1.3

从 $- t$ 中分解出因数 $- t$ 。

$- t \cdot t^{3} - t \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.4.2.1.4

从 $- t (t^{3}) - t (1)$ 中分解出因数 $- t$ 。

$- t (t^{3} + 1) = 0$

解题步骤 6.4.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- t (t^{3} + 1^{3}) = 0$

解题步骤 6.4.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = 1$ 。

$- t ((t + 1) (t^{2} - t \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

解题步骤 6.4.2.4

因数。

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解题步骤 6.4.2.4.1

化简。

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解题步骤 6.4.2.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- t ((t + 1) (t^{2} - t + 1^{2})) = 0$

解题步骤 6.4.2.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$- t ((t + 1) (t^{2} - t + 1)) = 0$

解题步骤 6.4.2.4.2

去掉多余的括号。

$- t (t + 1) (t^{2} - t + 1) = 0$

解题步骤 6.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$t + 1 = 0$

$t^{2} - t + 1 = 0$

解题步骤 6.4.4

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 6.4.5

将 $t + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 6.4.5.1

将 $t + 1$ 设为等于 $0$ 。

$t + 1 = 0$

解题步骤 6.4.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$t = - 1$

解题步骤 6.4.6

将 $t^{2} - t + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

将 $t^{2} - t + 1$ 设为等于 $0$ 。

$t^{2} - t + 1 = 0$

解题步骤 6.4.6.2

求解 $t$ 的 $t^{2} - t + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.4.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $t$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3

化简。

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解题步骤 6.4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.6.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.4.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.6.2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.6.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$t = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.4.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.6.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$t = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.6.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$t = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$t = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.7

最终解为使 $- t (t + 1) (t^{2} - t + 1) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

使用 $t$ 的值求解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

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解题步骤 7.1

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 - 1 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.1.2

化简 $0 - 1 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$x = 0 + (- 0, - - 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.1.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x = 0 + (0, - - 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.1.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 0 + (0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.1.2.2

将 $0$ 和 $(0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 相加。

$x = (0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 + 1 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.2.2

化简 $0 + 1 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $(0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 乘以 $1$ 。

$y = 0 + (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $(0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 相加。

$y = (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 7.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3.2

化简 $0 + 0 \cdot (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将 $0$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$z = 0 + (0 \cdot 0, 0 \cdot - 1, 0 \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, 0 \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.3.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$z = 0 + (0, 0 \cdot - 1, 0 \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, 0 \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$z = 0 + (0, 0, 0 \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, 0 \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3.2.1.2.3

将 $0$ 乘以 $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ 。

$z = 0 + (0, 0, 0, 0 \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3.2.1.2.4

将 $0$ 乘以 $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ 。

$z = 0 + (0, 0, 0, 0)$

解题步骤 7.3.2.2

将 $0$ 和 $(0, 0, 0, 0)$ 相加。

$z = (0, 0, 0, 0)$

解题步骤 7.4

所求得的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

$x = (0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

$y = (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

$z = (0, 0, 0, 0)$

$x = (0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

$y = (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})$

$z = (0, 0, 0, 0)$

解题步骤 8

使用对 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 计算所得的值，求得的交点为 $((0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}), (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}), (0, 0, 0, 0))$ 。

$((0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}), (0, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}), (0, 0, 0, 0))$

微积分学 示例

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