微积分学 示例

使用极限的定义求在给定点处的切线 f(x)=(x^3-3+1)(x+2) , (1,-3)
,
解题步骤 1
判断给定点是否在给定函数的图像上。
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解题步骤 1.1
计算 处的值。
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解题步骤 1.1.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 1.1.2
化简结果。
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解题步骤 1.1.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 1.1.2.2
中减去
解题步骤 1.1.2.3
相加。
解题步骤 1.1.2.4
相加。
解题步骤 1.1.2.5
乘以
解题步骤 1.1.2.6
最终答案为
解题步骤 1.2
由于 ,所以这个点在图像上。
该点在图像上
该点在图像上
解题步骤 2
切线的斜率为表达式的导数。
的导数
解题步骤 3
考思考一下导数的极限定义。
解题步骤 4
求定义的补集。
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解题步骤 4.1
计算函数在 处的值。
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解题步骤 4.1.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.1.2
化简结果。
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解题步骤 4.1.2.1
使用二项式定理。
解题步骤 4.1.2.2
相加。
解题步骤 4.1.2.3
将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开
解题步骤 4.1.2.4
化简项。
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解题步骤 4.1.2.4.1
化简每一项。
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解题步骤 4.1.2.4.1.1
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.1.1
乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.1.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.2.4.1.1.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.2.4.1.1.2
相加。
解题步骤 4.1.2.4.1.2
移到 的左侧。
解题步骤 4.1.2.4.1.3
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.3.1
移动
解题步骤 4.1.2.4.1.3.2
乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.3.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.2.4.1.3.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.2.4.1.3.3
相加。
解题步骤 4.1.2.4.1.4
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.4.1
移动
解题步骤 4.1.2.4.1.4.2
乘以
解题步骤 4.1.2.4.1.5
乘以
解题步骤 4.1.2.4.1.6
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.6.1
移动
解题步骤 4.1.2.4.1.6.2
乘以
解题步骤 4.1.2.4.1.7
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.7.1
移动
解题步骤 4.1.2.4.1.7.2
乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.7.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.2.4.1.7.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.2.4.1.7.3
相加。
解题步骤 4.1.2.4.1.8
乘以
解题步骤 4.1.2.4.1.9
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.9.1
乘以
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解题步骤 4.1.2.4.1.9.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 4.1.2.4.1.9.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.2.4.1.9.2
相加。
解题步骤 4.1.2.4.1.10
移到 的左侧。
解题步骤 4.1.2.4.1.11
乘以
解题步骤 4.1.2.4.2
通过加上各项进行化简。
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解题步骤 4.1.2.4.2.1
相加。
解题步骤 4.1.2.4.2.2
相加。
解题步骤 4.1.2.5
相加。
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解题步骤 4.1.2.5.1
移动
解题步骤 4.1.2.5.2
相加。
解题步骤 4.1.2.6
最终答案为
解题步骤 4.2
重新排序。
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解题步骤 4.2.1
移动
解题步骤 4.2.2
移动
解题步骤 4.2.3
移动
解题步骤 4.2.4
移动
解题步骤 4.2.5
移动
解题步骤 4.2.6
移动
解题步骤 4.2.7
移动
解题步骤 4.2.8
移动
解题步骤 4.2.9
移动
解题步骤 4.2.10
移动
解题步骤 4.2.11
移动
解题步骤 4.2.12
重新排序。
解题步骤 4.3
求定义的补集。
解题步骤 5
插入分量。
解题步骤 6
化简。
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解题步骤 6.1
化简分子。
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解题步骤 6.1.1
运用分配律。
解题步骤 6.1.2
化简。
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解题步骤 6.1.2.1
乘以
解题步骤 6.1.2.2
乘以
解题步骤 6.1.2.3
乘以
解题步骤 6.1.3
中减去
解题步骤 6.1.4
相加。
解题步骤 6.1.5
中减去
解题步骤 6.1.6
相加。
解题步骤 6.1.7
相加。
解题步骤 6.1.8
相加。
解题步骤 6.1.9
相加。
解题步骤 6.1.10
相加。
解题步骤 6.1.11
中分解出因数
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解题步骤 6.1.11.1
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.2
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.3
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.4
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.5
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.6
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.7
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.8
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.9
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.10
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.11
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.12
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.13
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.14
中分解出因数
解题步骤 6.1.11.15
中分解出因数
解题步骤 6.2
通过约去公因数来化简表达式。
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解题步骤 6.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 6.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 6.2.1.2
除以
解题步骤 6.2.2
化简表达式。
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解题步骤 6.2.2.1
移动
解题步骤 6.2.2.2
移动
解题步骤 6.2.2.3
移动
解题步骤 6.2.2.4
移动
解题步骤 6.2.2.5
移动
解题步骤 6.2.2.6
移动
解题步骤 6.2.2.7
移动
解题步骤 6.2.2.8
重新排序。
解题步骤 7
趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 8
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 9
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 10
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 11
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 12
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 13
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 14
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 15
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 16
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 17
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 18
代入所有出现 的地方来计算极限值。
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解题步骤 18.1
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 18.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 18.3
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 18.4
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 18.5
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 19
化简答案。
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解题步骤 19.1
化简每一项。
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解题步骤 19.1.1
乘以
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解题步骤 19.1.1.1
乘以
解题步骤 19.1.1.2
乘以
解题步骤 19.1.2
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 19.1.3
乘以
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解题步骤 19.1.3.1
乘以
解题步骤 19.1.3.2
乘以
解题步骤 19.1.4
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 19.1.5
乘以
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解题步骤 19.1.5.1
乘以
解题步骤 19.1.5.2
乘以
解题步骤 19.1.6
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 19.1.7
乘以
解题步骤 19.1.8
乘以
解题步骤 19.2
合并 中相反的项。
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解题步骤 19.2.1
相加。
解题步骤 19.2.2
相加。
解题步骤 19.2.3
相加。
解题步骤 19.2.4
相加。
解题步骤 19.2.5
相加。
解题步骤 20
求斜率 。在本例中,即
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解题步骤 20.1
去掉圆括号。
解题步骤 20.2
去掉圆括号。
解题步骤 20.3
化简
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解题步骤 20.3.1
化简每一项。
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解题步骤 20.3.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 20.3.1.2
乘以
解题步骤 20.3.1.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 20.3.1.4
乘以
解题步骤 20.3.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 20.3.2.1
相加。
解题步骤 20.3.2.2
中减去
解题步骤 21
斜率为 ,该点是
解题步骤 22
使用直线方程的公式求 的值。
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解题步骤 22.1
使用直线方程的公式求
解题步骤 22.2
的值代入方程中。
解题步骤 22.3
的值代入方程中。
解题步骤 22.4
的值代入方程中。
解题步骤 22.5
的值。
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解题步骤 22.5.1
将方程重写为
解题步骤 22.5.2
乘以
解题步骤 22.5.3
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 22.5.3.1
从等式两边同时减去
解题步骤 22.5.3.2
中减去
解题步骤 23
现在已知 (斜率)和 (y 轴截距)的值,将其代入 以求直线方程。
解题步骤 24