微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

解题步骤 2.2

约去 $2^{i + 1}$ 和 $2^{i}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $2^{i + 1}$ 中分解出因数 $2^{i}$ 。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{2}{1}$

解题步骤 2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$r = 2$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $2^{i}$ 以替换 $i$ 。

$a = 2^{1}$

解题步骤 3.2

计算指数。

$a = 2$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

解题步骤 5.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

解题步骤 5.2

移动 $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ 中分母的负号。

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

解题步骤 5.3

将 $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ 重写为 $- (1 - 2^{100})$ 。

$2 (- (1 - 2^{100}))$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (- 1 - - 2^{100})$

解题步骤 5.6

乘以 $- - 2^{100}$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

解题步骤 5.6.2

将 $2^{100}$ 乘以 $1$ 。

$2 (- 1 + 2^{100})$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

解题步骤 5.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

解题步骤 5.9

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{100}$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $2$ 乘以 $2^{100}$ 。

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解题步骤 5.9.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

解题步骤 5.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 + 2^{1 + 100}$

解题步骤 5.9.2

将 $1$ 和 $100$ 相加。

$- 2 + 2^{101}$

微积分学 示例

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