微积分学示例

$f (x) = - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) = - (\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

解题步骤 2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 2.6.5

化简。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y} \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

解题步骤 4

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 5

求定义的补集。

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解题步骤 5.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

解题步骤 5.1.2

最终答案为 $- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ 。

$- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

解题步骤 5.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

$f (x + h) = - \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$

$f (x) = - \frac{\sqrt{y x}}{x}$

解题步骤 6

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} - (- \frac{\sqrt{y x}}{x})}{h}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

乘以 $- - \frac{\sqrt{y x}}{x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} + 1 \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

解题步骤 7.1.1.2

将 $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} + \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

解题步骤 7.1.2

要将 $- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\sqrt{y x}}{x}}{h}$

解题步骤 7.1.3

要将 $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\sqrt{y x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 7.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{y (x + h)}}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{(x + h) x} + \frac{\sqrt{y x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $\frac{\sqrt{y x}}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{(x + h) x} + \frac{\sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.4.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{- \frac{\sqrt{y (x + h)} x}{x (x + h)} + \frac{\sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- \sqrt{y (x + h)} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6

以因式分解的形式重写 $\frac{- \sqrt{y (x + h)} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 7.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y (x + h)}$ 重写成 ${(y (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- {(y (x + h))}^{\frac{1}{2}} x + \sqrt{y x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y x}$ 重写成 ${(y x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- {(y (x + h))}^{\frac{1}{2}} x + {(y x)}^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.3

运用分配律。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + {(y x)}^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.4

对 $y x$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.5

运用分配律。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.1.6.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.6.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.6.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7

以因式分解的形式重写 $- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h$ 。

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解题步骤 7.1.6.7.1

从 $- {(y x + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.6.7.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 7.1.6.7.1.1.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{- {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} x + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.1.2

移动 ${(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.1.3

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 重新排序。

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.1.4

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$\frac{\frac{- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.2

从 $- x {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.3

从 $x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.4

从 $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.5

从 $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.1.6

从 $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} h)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x^{1} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.7.3

化简。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.8

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 7.1.6.8.1

从 $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.8.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 7.1.6.8.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h)}{x + h}}{h}$

解题步骤 7.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 7.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.4

从 $- x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) + x y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.5

从 $x y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) - (- x y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.6

从 $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}}) - (- x y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.7

从 $y^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) - (- y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.8

从 $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}}) - (- y^{\frac{1}{2}} h)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.9

化简表达式。

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解题步骤 7.9.1

将 $- (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)$ 重写为 $- 1 (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)$ 。

$\frac{- 1 (x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h)}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.9.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 7.9.3

将 $- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x y + y h)}^{\frac{1}{2}} - x y^{\frac{1}{2}} - h y^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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