微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} - x - 2}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{3} - lim_{x \to 1} 4 x^{2} - lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 4 x^{2} - lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 4 x^{2} - lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 7

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 8

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

解题步骤 11

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{3} - 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 lim_{x \to 1} x + 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 12.5

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 4 - 5 \cdot 1 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 - 4 - 5 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.6

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 1 - 5 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.7

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 6 + 2}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.1.8

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 4}{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 4}{1 - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4}{1 - 1 - 2}$

解题步骤 13.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 4}{0 - 2}$

解题步骤 13.2.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 4}{- 2}$

解题步骤 13.3

用 $- 4$ 除以 $- 2$ 。

$2$

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