微积分学示例

$- \frac{2 k}{x^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 1

要将 $- \frac{2 k}{x^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ 。

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{3} {(12 - x)}^{3}$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{2 k}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ 。

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ 乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{{(12 - x)}^{3} x^{3}}$

解题步骤 3.3

重新排序 ${(12 - x)}^{3} x^{3}$ 的因式。

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}$ 中分解出因数 $2 k$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 2 k {(12 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $2 k$ 。

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.1.2

从 $16 k x^{3}$ 中分解出因数 $2 k$ 。

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.1.3

从 $2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})$ 中分解出因数 $2 k$ 。

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.2

将 $- {(12 - x)}^{3}$ 重写为 ${(- (12 - x))}^{3}$ 。

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.3

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + {(2 x)}^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = - (12 - x)$ 和 $b = 2 x$ 。

$\frac{2 k ((- (12 - x) + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

运用分配律。

$\frac{2 k ((- 1 \cdot 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{2 k ((- 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 k ((- 12 + 1 x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 k ((- 12 + x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.4

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 k ((- 12 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.5

从 $- 12 + 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.5.5.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 k ((3 \cdot - 4 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.5.2

从 $3 \cdot - 4 + 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.6

合并指数。

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解题步骤 5.5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + 1 (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.5.6.2

将 $12 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{2 k \cdot 3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1

运用分配律。

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 1 \cdot 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + 1 x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.4

将 ${(- 12 + x)}^{2}$ 重写为 $(- 12 + x) (- 12 + x)$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) ((- 12 + x) (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 12 + x) (- 12 + x)$ 。

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解题步骤 5.7.5.1

运用分配律。

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 (- 12 + x) + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.5.2

运用分配律。

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.5.3

运用分配律。

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.7.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.6.1.1

将 $- 12$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.6.1.2

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 \cdot x + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.6.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.6.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.7

运用分配律。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 12 (2 x) - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.8

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.10

化简每一项。

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解题步骤 5.7.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.10.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.11

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 2^{2} x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.7.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.8

将 $- 24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.9

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.10

将 $144 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.11

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.12

将 $- x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.13

从 $144 + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.13.1

从 $144$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 \cdot 48 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.13.2

从 $3 \cdot 48 + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 (48 + x^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{6 k (- 4 + x) \cdot 3 (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 5.14

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 k (- 4 + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{18 k (- 1 (4) + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 6.2

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{18 k (- 1 (4) - 1 (- x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 6.3

从 $- 1 (4) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{18 k (- 1 (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

解题步骤 6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{((18 k) (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

微积分学 示例

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