微积分学示例

$\frac{e^{\frac{u}{10}}}{u^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 等于 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ，其中 $f (u) = e^{\frac{u}{10}}$ 且 $g (u) = u^{3}$ 。

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{{(u^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(u^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = e^{u}$ 且 $g (u) = \frac{u}{10}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{u}{10}$ 。

$\frac{u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{u^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{u}{10}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\frac{u}{10}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u]$ 。

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} (\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u])) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $e^{\frac{u}{10}}$ 。

$\frac{u^{3} (\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10} \frac{d}{d u} [u]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \frac{d}{d u} [u] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \cdot 1 - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{10}{10} \cdot \frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{10 (\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

解题步骤 6.3

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 e^{\frac{u}{10}} (3 u^{2})}{10 u^{6}}$

解题步骤 8

将 $3$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{u^{3} e^{\frac{u}{10}} - 30 u^{2} e^{\frac{u}{10}}}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

从 $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $e^{\frac{u}{10}} u^{3}$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.1.2

从 $- 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.1.3

从 $u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.2

从 $e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{u}{10}}$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $e^{\frac{u}{10}}$ 和 $u$ 重新排序。

$\frac{u^{2} (u e^{\frac{u}{10}} - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.2.2

从 $u e^{\frac{u}{10}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{u}{10}}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.2.3

从 $- 30 e^{\frac{u}{10}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{u}{10}}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30)}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.3.2.4

从 $e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30$ 中分解出因数 $e^{\frac{u}{10}}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

$\frac{u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.4

约去 $u^{2}$ 和 $u^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $10 u^{6}$ 中分解出因数 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

解题步骤 9.4.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{4}}$

微积分学 示例

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