微积分学示例

$\frac{e^{2 u}}{e^{u} + e^{- u}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ 等于 $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ，其中 $f (u) = e^{2 u}$ 且 $g (u) = e^{u} + e^{- u}$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u}] - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = e^{u}$ 且 $g (u) = 2 u$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 u$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $2 u$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以 $2 u$ 对 $u$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u} [u]$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \cdot 1) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} \cdot 2 - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot ((e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $e^{u} + e^{- u}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}]$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = e^{u}$ 且 $g (u) = - u$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- u$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 5.3

使用 $- u$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- u$ 对 $u$ 的导数是 $- \frac{d}{d u} [u]$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \cdot - 1)}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- u}$ 的左侧。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - 1 \cdot e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1 e^{- u}$ 重写为 $- e^{- u}$ 。

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(2 e^{u} + 2 e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

通过指数相加将 $e^{u}$ 乘以 $e^{2 u}$ 。

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解题步骤 7.4.1.1.1

移动 $e^{2 u}$ 。

$\frac{2 (e^{2 u} e^{u}) + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{2 u + u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.1.3

将 $2 u$ 和 $u$ 相加。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

通过指数相加将 $e^{- u}$ 乘以 $e^{2 u}$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

移动 $e^{2 u}$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 (e^{2 u} e^{- u}) - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{2 u - u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2.3

从 $2 u$ 中减去 $u$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

通过指数相加将 $e^{2 u}$ 乘以 $e^{u}$ 。

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解题步骤 7.4.1.3.1

移动 $e^{u}$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - (e^{u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{u + 2 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3.3

将 $u$ 和 $2 u$ 相加。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{2 u} e^{- u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5

通过指数相加将 $e^{2 u}$ 乘以 $e^{- u}$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

移动 $e^{- u}$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 (e^{- u} e^{2 u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{- u + 2 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.3

将 $- u$ 和 $2 u$ 相加。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.7

将 $e^{u}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

从 $2 e^{3 u}$ 中减去 $e^{3 u}$ 。

$\frac{2 e^{u} + e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

解题步骤 7.4.3

将 $2 e^{u}$ 和 $e^{u}$ 相加。

$\frac{3 e^{u} + e^{3 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

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