微积分学示例

$a (1 - e^{- k t}) + b$

解题步骤 1

根据加法法则， $a (1 - e^{- k t}) + b$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ 。

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $a$ 对于 $t$ 是常数，所以 $a (1 - e^{- k t})$ 对 $t$ 的导数是 $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ 。

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $1 - e^{- k t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ 。

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- k t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ 。

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - k t$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- k t$ 。

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.5.3

使用 $- k t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.6

因为 $- k$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- k t$ 对 $t$ 的导数是 $- k \frac{d}{d t} [t]$ 。

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.10

将 $e^{- k t}$ 乘以 $1$ 。

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 2.11

将 $0$ 和 $e^{- k t} k$ 相加。

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

解题步骤 3

因为 $b$ 对于 $t$ 是常数，所以 $b$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$a e^{- k t} k + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $a e^{- k t} k$ 和 $0$ 相加。

$a e^{- k t} k$

解题步骤 4.2

重新排序 $a e^{- k t} k$ 的因式。

$e^{- k t} a k$

解题步骤 4.3

将 $e^{- k t} a k$ 中的因式重新排序。

$a k e^{- k t}$

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