微积分学示例

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 重写为 ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + e^{- x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 相加。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

乘。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2.2

将 ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 ${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ 的因式。

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 。

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

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