微积分学示例

$\cos^{2} (\cos (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (\cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (\cos (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cos (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cos (\cos (x)) (\sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) (- \sin (x))$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$ 的因式。

$2 \cos (\cos (x)) \sin (x) \sin (\cos (x))$

解题步骤 6.2

将 $2 \cos (\cos (x)) \sin (x)$ 和 $\sin (\cos (x))$ 重新排序。

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x)) \sin (x))$

解题步骤 6.3

移动括号。

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x))) \sin (x)$

解题步骤 6.4

将 $\sin (\cos (x))$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (\cos (x)) \cos (\cos (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.5

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 \cos (x)) \sin (x)$

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