微积分学示例

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ 重写为 $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\ln (\cos (x))$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (\cos (x))$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 9.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 9.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 9.2.2

从 $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $- 2 \ln (\cos (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 9.2.2.3

从 $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 10

约去公因数。

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解题步骤 10.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

解题步骤 11

组合 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 和 $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2

化简分子。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.3

乘以 $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 12.2.1.3.1

组合 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.3.2

组合 $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ 和 $x$ 。

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.4

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ 。

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.6

乘以 $- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ 。

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解题步骤 12.2.1.6.1

将 $\ln (\cos (x))$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.1.6.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ 。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.2.1

分离分数。

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.2.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.2.3

用 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ 除以 $1$ 。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

解题步骤 12.2.3

将 $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

解题步骤 12.3

重新排序项。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4

化简分子。

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解题步骤 12.4.1

从 $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 。

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解题步骤 12.4.1.1

移动 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 。

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.1.2

从 $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.1.3

从 $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.1.4

从 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.3

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $x$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.4

从 $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 12.4.4.1

将 $\sin (x)$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.4.2

从 $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.4.3

从 $- \ln (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.4.4

从 $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.4.5

提取负因数。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.6

化简每一项。

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解题步骤 12.6.1

分离分数。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.6.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

解题步骤 12.6.3

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

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