微积分学示例

$\sqrt{\frac{x}{17}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x}{17}}$ 重写成 ${(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x}{17}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{17}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{17}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

解题步骤 8

因为 $\frac{1}{17}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{17}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{17} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{17} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{17}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{17 \cdot 2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.2

将 $17$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{34}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{34} {(\frac{17}{x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2

对 $\frac{17}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{34} \cdot \frac{17^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3

将 $\frac{1}{34}$ 乘以 $\frac{17^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{17^{\frac{1}{2}}}{34 x^{\frac{1}{2}}}$

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