微积分学示例

$2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x))]$

解题步骤 3.3.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}))]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + 1})]$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}})]$

解题步骤 3.3.4

在公分母上合并分子。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}})]$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 - 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.13

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 + \frac{- 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.15

将负号移到分数的前面。

$2 - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

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