微积分学示例

$3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3 \cosh (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x \cosh (y)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cosh (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{x \cdot - 1})]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- 1 \cdot x})]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- x})]$

解题步骤 3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sinh (e^{- x})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$ 。

$3 \cosh (y) - \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sinh (x)$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{- x}$ 。

$3 \cosh (y) - (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3.2

$\sinh (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cosh (u_{1})$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{x \cdot - 1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- 1 \cdot x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3.3.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \cdot - 1))$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- 1 \cdot e^{- x}))$

解题步骤 3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- e^{- x}))$

解题步骤 3.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \cosh (y) + 1 (\cosh (e^{- x}) (e^{- x}))$

解题步骤 3.11

将 $\cosh (e^{- x})$ 乘以 $1$ 。

$3 \cosh (y) + \cosh (e^{- x}) e^{- x}$

解题步骤 4

重新排序项。

$e^{- x} \cosh (e^{- x}) + 3 \cosh (y)$

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