微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} \sin (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.3

一的任意次幂都为一。

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.4

乘以 $4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 7.5.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.4.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.5

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.6

组合 $\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.7

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 7.5.7.1

添加圆括号。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.7.2

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.7.3

将 $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.7.4

约去公因数。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 7.5.8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9

乘以 $8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 7.5.9.1

组合 $8$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9.2

组合 $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 7.5.9.3

组合 $\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

解题步骤 7.5.9.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6

化简每一项。

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解题步骤 7.6.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.2

分离分数。

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.4

组合 $\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.5

分离分数。

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.7

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.8

化简。

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解题步骤 7.6.8.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.8.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.9

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.10

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.11

分离分数。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.6.12

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

解题步骤 7.6.13

用 $8 x (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

解题步骤 7.7

将 $4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ 中的因式重新排序。

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

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