微积分学示例

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x + 7$ 且 $g (x) = x^{3} - 2$ 。

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

解题步骤 2.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $4 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

解题步骤 4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.3

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.4

将 $4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.3.5

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

解题步骤 5.3.6

将 $12 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$

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