微积分学示例

$3 y^{2} + x = 27$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (3 y^{2} + x) = \frac{d}{d y} (27)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 y^{2} + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 y + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$6 y + x'$

解题步骤 3

因为 $27$ 对于 $y$ 是常数，所以 $27$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 y + x' = 0$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $6 y$ 。

$x' = - 6 y$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - 6 y$

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