微积分学示例

$f = (10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 8 x^{3} - 4)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} ((10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 8 x^{3} - 4))$

解题步骤 2

$f$ 对 $x$ 的导数为 $f'$ 。

$f'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}$ 且 $g (x) = - 8 x^{3} - 4$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) \frac{d}{d x} [- 8 x^{3} - 4] + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $- 8 x^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2} + 0) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.6

将 $- 24 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}]$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}]$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.8

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.10

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.11

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + 0 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.12

将 $50 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.13

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{- 5}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 5}])$

解题步骤 3.2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + 7 (- 5 x^{- 6}))$

解题步骤 3.2.15

将 $- 5$ 乘以 $7$ 。

$(10 x^{5} + 6 + 7 x^{- 5}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 x^{- 6})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(10 x^{5} + 6 + 7 \frac{1}{x^{5}}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 x^{- 6})$

解题步骤 3.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(10 x^{5} + 6 + 7 \frac{1}{x^{5}}) (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$10 x^{5} (- 24 x^{2}) + 6 (- 24 x^{2}) + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4

合并项。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $- 24$ 乘以 $10$ 。

$- 240 x^{5} x^{2} + 6 (- 24 x^{2}) + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 240 (x^{2} x^{5}) + 6 (- 24 x^{2}) + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 240 x^{2 + 5} + 6 (- 24 x^{2}) + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$- 240 x^{7} + 6 (- 24 x^{2}) + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.3

将 $- 24$ 乘以 $6$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + 7 \frac{1}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.4

组合 $7$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{7}{x^{5}} (- 24 x^{2}) + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.5

组合 $- 24$ 和 $\frac{7}{x^{5}}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{- 24 \cdot 7}{x^{5}} x^{2} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 24$ 乘以 $7$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{- 168}{x^{5}} x^{2} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.7

组合 $\frac{- 168}{x^{5}}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{- 168 x^{2}}{x^{5}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.8

约去 $x^{2}$ 和 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.8.1

从 $- 168 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{x^{2} \cdot - 168}{x^{5}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.8.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{x^{2} \cdot - 168}{x^{2} x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.8.2.2

约去公因数。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{x^{2} \cdot - 168}{x^{2} x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.8.2.3

重写表达式。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{- 168}{x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.9

将负号移到分数的前面。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} - \frac{168}{x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - 35 \frac{1}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.10

组合 $- 35$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} - \frac{168}{x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} + \frac{- 35}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.11

将负号移到分数的前面。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} - \frac{168}{x^{3}} + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}})$

解题步骤 3.3.4.12

要将 $(- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} - \frac{168}{x^{3}} + \frac{(- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.13

在公分母上合并分子。

$- 240 x^{7} - 144 x^{2} + \frac{- 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.14

要将 $- 240 x^{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- 144 x^{2} - 240 x^{7} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.15

组合 $- 240 x^{7}$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- 144 x^{2} + \frac{- 240 x^{7} x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.16

在公分母上合并分子。

$- 144 x^{2} + \frac{- 240 x^{7} x^{3} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.17

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.4.17.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 144 x^{2} + \frac{- 240 (x^{3} x^{7}) - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 144 x^{2} + \frac{- 240 x^{3 + 7} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.17.3

将 $3$ 和 $7$ 相加。

$- 144 x^{2} + \frac{- 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.18

要将 $- 144 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- 144 x^{2} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.19

组合 $- 144 x^{2}$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 144 x^{2} x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.20

在公分母上合并分子。

$\frac{- 144 x^{2} x^{3} - 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.21

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.4.21.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 144 (x^{3} x^{2}) - 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 144 x^{3 + 2} - 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.4.21.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 144 x^{5} - 240 x^{10} - 168 + (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) x^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + x^{3} (- 8 x^{3} - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1

运用分配律。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (x^{3} (- 8 x^{3}) + x^{3} \cdot - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 4) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.3

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 x^{3} x^{3} - 4 \cdot x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.6.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 (x^{3} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 x^{3 + 3} - 4 \cdot x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 x^{6} - 4 \cdot x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} + (- 8 x^{6} - 4 x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 8 x^{6} - 4 x^{3}) (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}})$ 。

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解题步骤 3.3.6.5.1

运用分配律。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 x^{6} (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.5.2

运用分配律。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 x^{6} (50 x^{4}) - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4} - \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.5.3

运用分配律。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 x^{6} (50 x^{4}) - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6

化简每一项。

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解题步骤 3.3.6.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 \cdot 50 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.2

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.6.6.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 \cdot 50 (x^{4} x^{6}) - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 \cdot 50 x^{4 + 6} - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.2.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 8 \cdot 50 x^{10} - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.3

将 $- 8$ 乘以 $50$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} - 8 x^{6} (- \frac{35}{x^{6}}) - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.4

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.6.4.1

将 $- \frac{35}{x^{6}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} - 8 x^{6} \frac{- 35}{x^{6}} - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.4.2

从 $- 8 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + x^{6} \cdot - 8 \frac{- 35}{x^{6}} - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.4.3

约去公因数。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + x^{6} \cdot - 8 \frac{- 35}{x^{6}} - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.4.4

重写表达式。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} - 8 \cdot - 35 - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.5

将 $- 8$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 4 x^{3} (50 x^{4}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 4 \cdot 50 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.7

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.3.6.6.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 4 \cdot 50 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 4 \cdot 50 x^{4 + 3} - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.7.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 4 \cdot 50 x^{7} - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.8

将 $- 4$ 乘以 $50$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} - 4 x^{3} (- \frac{35}{x^{6}}) - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.9

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.6.9.1

将 $- \frac{35}{x^{6}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} - 4 x^{3} \frac{- 35}{x^{6}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.9.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} + x^{3} \cdot - 4 \frac{- 35}{x^{6}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.9.3

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} + x^{3} \cdot - 4 \frac{- 35}{x^{3} x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.9.4

约去公因数。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} + x^{3} \cdot - 4 \frac{- 35}{x^{3} x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.9.5

重写表达式。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} - 4 \frac{- 35}{x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{- 35}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} + \frac{- 4 \cdot - 35}{x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.6.11

将 $- 4$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{- 240 x^{10} - 144 x^{5} - 400 x^{10} + 280 - 200 x^{7} + \frac{140}{x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.7

从 $- 240 x^{10}$ 中减去 $400 x^{10}$ 。

$\frac{- 640 x^{10} - 144 x^{5} + 280 - 200 x^{7} + \frac{140}{x^{3}} - 168}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.8

从 $280$ 中减去 $168$ 。

$\frac{- 640 x^{10} - 144 x^{5} - 200 x^{7} + \frac{140}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.9

重新排序项。

$\frac{- 640 x^{10} - 200 x^{7} - 144 x^{5} + \frac{140}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10

从 $- 640 x^{10} - 200 x^{7} - 144 x^{5} + \frac{140}{x^{3}} + 112$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.3.6.10.1

从 $- 640 x^{10}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10}) - 200 x^{7} - 144 x^{5} + \frac{140}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.2

从 $- 200 x^{7}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10}) + 4 (- 50 x^{7}) - 144 x^{5} + \frac{140}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.3

从 $- 144 x^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10}) + 4 (- 50 x^{7}) + 4 (- 36 x^{5}) + \frac{140}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.4

从 $\frac{140}{x^{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10}) + 4 (- 50 x^{7}) + 4 (- 36 x^{5}) + 4 \frac{35}{x^{3}} + 112}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.5

从 $112$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10}) + 4 (- 50 x^{7}) + 4 (- 36 x^{5}) + 4 \frac{35}{x^{3}} + 4 \cdot 28}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.6

从 $4 (- 160 x^{10}) + 4 (- 50 x^{7})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7}) + 4 (- 36 x^{5}) + 4 \frac{35}{x^{3}} + 4 \cdot 28}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.7

从 $4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7}) + 4 (- 36 x^{5})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7} - 36 x^{5}) + 4 \frac{35}{x^{3}} + 4 \cdot 28}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.8

从 $4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7} - 36 x^{5}) + 4 \frac{35}{x^{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{35}{x^{3}}) + 4 \cdot 28}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.10.9

从 $4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{35}{x^{3}}) + 4 \cdot 28$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{10} - 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.11

要将 $- 160 x^{10}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} - 160 x^{10} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.12

组合 $- 160 x^{10}$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{- 160 x^{10} x^{3}}{x^{3}} + \frac{35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.13

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{- 160 x^{10} x^{3} + 35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.14.1

从 $- 160 x^{10} x^{3} + 35$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.3.6.14.1.1

从 $- 160 x^{10} x^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{10} x^{3}) + 35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14.1.2

从 $35$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{10} x^{3}) + 5 (7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14.1.3

从 $5 (- 32 x^{10} x^{3}) + 5 (7)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{10} x^{3} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14.2

通过指数相加将 $x^{10}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.6.14.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 (x^{3} x^{10}) + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{3 + 10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.14.2.3

将 $3$ 和 $10$ 相加。

$\frac{4 (- 50 x^{7} - 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.15

要将 $- 50 x^{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} - 50 x^{7} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 (- 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.16

组合 $- 50 x^{7}$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{- 50 x^{7} x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 (- 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.17

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{- 50 x^{7} x^{3} + 5 (- 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.18.1

从 $- 50 x^{7} x^{3} + 5 (- 32 x^{13} + 7)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.3.6.18.1.1

从 $- 50 x^{7} x^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 10 x^{7} x^{3}) + 5 (- 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18.1.2

从 $5 (- 10 x^{7} x^{3}) + 5 (- 32 x^{13} + 7)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 10 x^{7} x^{3} - 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.6.18.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 10 (x^{3} x^{7}) - 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 10 x^{3 + 7} - 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18.2.3

将 $3$ 和 $7$ 相加。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 10 x^{10} - 32 x^{13} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.18.3

重新排序项。

$\frac{4 (- 36 x^{5} + \frac{5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.19

要将 $- 36 x^{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (- 36 x^{5} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.20

组合 $- 36 x^{5}$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{5} x^{3}}{x^{3}} + \frac{5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.21

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{5} x^{3} + 5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.22.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.6.22.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{4 (\frac{- 36 (x^{3} x^{5}) + 5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{3 + 5} + 5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.1.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{8} + 5 (- 32 x^{13} - 10 x^{10} + 7)}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.2

运用分配律。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{8} + 5 (- 32 x^{13}) + 5 (- 10 x^{10}) + 5 \cdot 7}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.3

化简。

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解题步骤 3.3.6.22.3.1

将 $- 32$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{8} - 160 x^{13} + 5 (- 10 x^{10}) + 5 \cdot 7}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.3.2

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{8} - 160 x^{13} - 50 x^{10} + 5 \cdot 7}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.3.3

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{4 (\frac{- 36 x^{8} - 160 x^{13} - 50 x^{10} + 35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.22.4

重新排序项。

$\frac{4 (\frac{- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 35}{x^{3}} + 28)}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.23

要将 $28$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{4 (\frac{- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 35}{x^{3}} + \frac{28 x^{3}}{x^{3}})}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.24

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \frac{- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 35 + 28 x^{3}}{x^{3}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.6.25

重新排序项。

$\frac{4 \frac{- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35}{x^{3}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.7

组合 $4$ 和 $\frac{- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{3}}}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3.3.9

合并。

$\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35) \cdot 1}{x^{3} x^{3}}$

解题步骤 3.3.10

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.10.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35) \cdot 1}{x^{3 + 3}}$

解题步骤 3.3.10.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35) \cdot 1}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.11

将 $4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (- 160 x^{13} - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.12

从 $- 160 x^{13}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13}) - 50 x^{10} - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.13

从 $- 50 x^{10}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13}) - (50 x^{10}) - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.14

从 $- (160 x^{13}) - (50 x^{10})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10}) - 36 x^{8} + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.15

从 $- 36 x^{8}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10}) - (36 x^{8}) + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.16

从 $- (160 x^{13} + 50 x^{10}) - (36 x^{8})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8}) + 28 x^{3} + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.17

从 $28 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8}) - (- 28 x^{3}) + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.18

从 $- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8}) - (- 28 x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3}) + 35)}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.19

将 $35$ 重写为 $- 1 (- 35)$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3}) - 1 (- 35))}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.20

从 $- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3}) - 1 (- 35)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35))}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.21

将 $- (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35)$ 重写为 $- 1 (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35)$ 。

$\frac{4 (- 1 (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35))}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.22

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35)}{x^{6}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$f' = - \frac{4 (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35)}{x^{6}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d f}{d x}$ 替换 $f'$ 。

$\frac{d f}{d x} = - \frac{4 (160 x^{13} + 50 x^{10} + 36 x^{8} - 28 x^{3} - 35)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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