微积分学示例

$- 2 t {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

解题步骤 1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 t {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{8} - 1)}^{7}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{8} - 1)}^{7}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ 。

$- 2 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{8} - 1)}^{7}] + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{7}$ 且 $g (t) = 6 t^{8} - 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 t^{8} - 1$ 。

$- 2 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$- 2 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3

使用 $6 t^{8} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $6 t^{8} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [6 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.2

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{8}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (6 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (6 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.4

将 $8$ 乘以 $6$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7} + 0)) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $48 t^{7}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7})) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.6.2

将 $48$ 乘以 $7$ 。

$- 2 (t (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (t^{7} t^{1} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (t^{7 + 1} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 7

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

解题步骤 9

将 ${(6 t^{8} - 1)}^{7}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6})) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

解题步骤 10.2

将 $336$ 乘以 $- 2$ 。

$- 672 (t^{8} ({(6 t^{8} - 1)}^{6})) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

解题步骤 10.3

从 $- 672 t^{8} {(6 t^{8} - 1)}^{6} - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ 中分解出因数 $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 672 t^{8} {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ 中分解出因数 $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ 。

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

解题步骤 10.3.2

从 $- 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ 中分解出因数 $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ 。

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) + 2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- (6 t^{8} - 1))$

解题步骤 10.3.3

从 $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) + 2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- (6 t^{8} - 1))$ 中分解出因数 $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ 。

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8} - (6 t^{8} - 1))$

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