微积分学示例

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 x + 3$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

解题步骤 1.3

使用 $4 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

解题步骤 4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.4.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

解题步骤 5.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

解题步骤 5.7

组合 $\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

解题步骤 5.8

将 $4$ 移到 ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.10

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.11

约去公因数。

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解题步骤 5.11.1

从 $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 5.11.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.11.3

重写表达式。

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

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