微积分学示例

$\frac{225 + 10 x}{1 + 0.05 x}$

解题步骤 1

使 $u = 1 + 0.05 x$ 。然后使 $d u = 0.05 d x$ ，以便 $\frac{1}{0.05} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + 0.05 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

重写。

$\frac{0.05}{1}$

解题步骤 1.1.2

用 $0.05$ 除以 $1$ 。

$0.05$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{4500 + 200 (20 u - 20)}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{4500}{u} + \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4500}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

解题步骤 4

由于 $4500$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4500$ 移到积分外。

$4500 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$4500 (\ln (| u |) + C) + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

解题步骤 6

由于 $200$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $200$ 移到积分外。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int \frac{20 u - 20}{u} d u$

解题步骤 7

用 $20 u - 20$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 7.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$20 u$

$20$

解题步骤 7.2

将被除数中的最高阶项 $20 u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$20$
	$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$

解题步骤 7.3

将新的商式项乘以除数。

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			+	$20 u$	+	$0$

解题步骤 7.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 u + 0$ 中的所有符号

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$

解题步骤 7.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$
					-	$20$

解题步骤 7.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int 20 - \frac{20}{u} d u$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (\int 20 d u + \int - \frac{20}{u} d u)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C + \int - \frac{20}{u} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - \int \frac{20}{u} d u)$

解题步骤 11

由于 $20$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - (20 \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 12

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$4500 \ln (| u |) + 4000 u - 4000 \ln (| u |) + C$

解题步骤 14.2

从 $4500 \ln (| u |)$ 中减去 $4000 \ln (| u |)$ 。

$4000 u + 500 \ln (| u |) + C$

解题步骤 15

使用 $1 + 0.05 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4000 (1 + 0.05 x) + 500 \ln (| 1 + 0.05 x |) + C$

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