微积分学示例

$y = \sin (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (6 x)$ 且 $g (x) = \ln (\sin^{2} (6 x))$ 。

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin^{2} (6 x))] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin^{2} (6 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin^{2} (6 x)$ 。

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\sin (6 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin^{2} (6 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sin (6 x) (\frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ 转换成 $\csc^{2} (6 x)$ 。

$\sin (6 x) (\csc^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (6 x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (6 x)$ 。

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (6 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 5

对 $\sin (6 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 6

对 $\sin (6 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin^{1} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc^{2} (6 x) (2 {\sin (6 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc^{2} (6 x) (2 \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $\csc^{2} (6 x)$ 的左侧。

$2 \cdot \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $6 x$ 。

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 9.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 9.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 10.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 10.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \cdot 1 + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 10.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 11.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $6 x$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 11.2

$\sin (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $\cos (u_{4})$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 11.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 12

求微分。

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解题步骤 12.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

解题步骤 12.3

化简表达式。

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解题步骤 12.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) \cdot 6$

解题步骤 12.3.2

将 $6$ 移到 $\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x)$ 的左侧。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cdot (\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

重新排序项。

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1

将 $\csc (6 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$12 {(\frac{1}{\sin (6 x)})}^{2} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2.2

对 $\frac{1}{\sin (6 x)}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2.3

一的任意次幂都为一。

$12 \frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2.4

组合 $12$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ 。

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2.5

约去 $\sin^{2} (6 x)$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.1

约去公因数。

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

解题步骤 13.2.5.2

重写表达式。

$12 \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

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