微积分学示例

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (e^{x})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (e^{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (e^{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ 转换成 $\sec (e^{x})$ 。

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{x}$ 。

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.3

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ 的因式。

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

解题步骤 5.2

将 $\sec (e^{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ 和 $e^{x}$ 。

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

解题步骤 5.4

组合 $\sin (e^{x})$ 和 $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ 。

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

解题步骤 5.5

分离分数。

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

解题步骤 5.6

将 $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ 转换成 $\tan (e^{x})$ 。

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

解题步骤 5.7

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$- e^{x} \tan (e^{x})$

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