微积分学示例

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 - x$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

解题步骤 8

将 $\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 10.2

化简 $2 {(3 - x)}^{1}$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 11

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16

合并分数。

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解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

解题步骤 16.2

组合 $\frac{3}{2 (3 - x)}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

解题步骤 16.3

化简表达式。

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解题步骤 16.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

解题步骤 16.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$

微积分学 示例

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