微积分学示例

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$

解题步骤 1

根据加法法则， $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{\frac{7}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{5}$ 。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.6.2

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{7}{5}$ 和 $x^{\frac{2}{5}}$ 。

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.8

组合 $9$ 和 $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ 。

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 2.9

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

解题步骤 4

因为 $10000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

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