微积分学示例

$y = {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{4}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = (x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

解题步骤 1.3

使用 $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2 x^{3}$ 且 $g (x) = 6 x - 3$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [6 x - 3] + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + 0) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \cdot 6 + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 移到 $x - 2 x^{3}$ 的左侧。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 \cdot (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x - 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

解题步骤 3.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 (3 x^{2})))$

解题步骤 3.11

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ 运用乘积法则。

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 x + 6 (- 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

解题步骤 4.4

重新排序 $4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$ 的因式。

$4 {(6 x - 3)}^{3} {(x - 2 x^{3})}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

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