微积分学示例

$\ln (2 x^{0.5})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{0.5}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{0.5}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x^{0.5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{0.5}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ 。

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ 。

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.5$ 。

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

组合 $0.5$ 和 $\frac{1}{x^{0.5}}$ 。

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ 和 $x^{- 0.5}$ 。

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

解题步骤 2.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 0.5}$ 移动到分母。

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x^{0.5}$ 乘以 $x^{0.5}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

解题步骤 3.1.2

将 $0.5$ 和 $0.5$ 相加。

$\frac{0.5}{x^{1}}$

解题步骤 3.2

化简 $x^{1}$ 。

$\frac{0.5}{x}$

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