微积分学示例

$5 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sec (x) + \tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 3

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $\sec (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ 的因式。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\sec (x) \tan (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.3

乘以 $\sec (x) \tan (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\sec (x)$ 。

$\frac{5 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{5 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.4

组合 $\sec^{2} (x)$ 和 $\frac{5}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 5}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.5

将 $5$ 移到 $\sec^{2} (x)$ 的左侧。

$\frac{5 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$\frac{5 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.7

从 $5 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $5 \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.7.2

从 $5 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 6.7.3

从 $5 \sec (x) (\tan (x)) + 5 \sec (x) (\sec (x))$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$\frac{5 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

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