微积分学示例

$f (x) = \frac{\cot (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.1.2

将 $- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2

从 $- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- e^{x} \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- e^{x} \cot (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.3

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{1}$

解题步骤 5.3.2.4

用 $e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$e^{- x} (- \csc^{2} (x)) + e^{- x} (- \cot (x))$

解题步骤 5.5

使用乘法的交换性质重写。

$- e^{- x} \csc^{2} (x) + e^{- x} (- \cot (x))$

解题步骤 5.6

使用乘法的交换性质重写。

$- e^{- x} \csc^{2} (x) - e^{- x} \cot (x)$

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