微积分学示例

$f (x) = \log_{8} (\frac{x^{2} - 5}{x - 10})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{8} (x)$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 1.2

$\log_{8} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (8)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 5}{x - 10} \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ 和 $\ln (8)$ 。

$\frac{1}{\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}$ 。

$1 \frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 4

将 $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 5$ 且 $g (x) = x - 10$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.4

化简表达式。

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解题步骤 6.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $2$ 移到 $x - 10$ 的左侧。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 \cdot (x - 10) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.5

根据加法法则， $x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.7

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.8

合并分数。

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解题步骤 6.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 6.8.3

将 $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ 乘以 $\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$ 。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}}$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 10$ 。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.5

化简分子。

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解题步骤 8.5.1

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.5.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

解题步骤 8.6

重新排序项。

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x - 10) (x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8))}$

微积分学 示例

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