微积分学示例

$y = (x + 5) (x^{2} - 5)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 5) (x^{2} - 5))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x^{2} - 5$ 。

$(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x + 5) (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2.4.2

将 $2$ 移到 $x + 5$ 的左侧。

$2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 3.2.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.2.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (1 + 0)$

解题步骤 3.2.8

化简表达式。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) \cdot 1$

解题步骤 3.2.8.2

将 $x^{2} - 5$ 乘以 $1$ 。

$2 (x + 5) x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$(2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 x^{2} + 10 x + x^{2} - 5$

解题步骤 3.3.3.6

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} + 10 x - 5$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 3 x^{2} + 10 x - 5$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 10 x - 5$

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