微积分学示例

$y = \frac{4 \sin (2 x)}{3 \tan (3 x)} - \cos^{2} (3 x)$

解题步骤 1

分离分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\tan (3 x)} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 2

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} (\sin (2 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 4

将 $\sin (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} (\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} (\sin (2 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 5.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 6

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x) \cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (\sin (2 x) \cos (3 x))}{3 \sin (3 x)} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 7

分离分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \cos (3 x)}{3} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\sin (3 x)} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 8

将 $\frac{\sin (2 x)}{\sin (3 x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \cos (3 x)}{3} (\sin (2 x) \frac{1}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 9

将 $\sin (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \cos (3 x)}{3} (\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \cos (3 x)}{3} (\sin (2 x) \frac{1}{\sin (3 x)}) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{\sin (3 x)}$ 转换成 $\csc (3 x)$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \cos (3 x)}{3} (\sin (2 x) \csc (3 x)) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 11

乘以 $\frac{4 \cos (3 x)}{3} (\sin (2 x) \csc (3 x))$ 。

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解题步骤 11.1

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{4 \cos (3 x)}{3}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sin (2 x) (4 \cos (3 x))}{3} \csc (3 x) - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{\sin (2 x) (4 \cos (3 x))}{3}$ 和 $\csc (3 x)$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sin (2 x) (4 \cos (3 x)) \csc (3 x)}{3} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 12

将 $4$ 移到 $\sin (2 x)$ 的左侧。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3} - \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 13

根据加法法则， $\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3} - \cos^{2} (3 x)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3}] + \frac{d}{d y} [- \cos^{2} (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3}] + \frac{d}{d y} [- \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 14

因为 $\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{4 \sin (2 x) \cos (3 x) \csc (3 x)}{3}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- \cos^{2} (3 x)]$

解题步骤 15

因为 $- \cos^{2} (3 x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (3 x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 16

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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