微积分学示例

$y = \ln (\ln (\cos (x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (\cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (\cos (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (\cos (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

组合 $\sec (x)$ 和 $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ 。

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} (- \sin (x))$

解题步骤 6

组合 $\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sec (x) \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 7.1.2

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 7.1.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 7.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\ln (\cos (x))})$

解题步骤 7.4

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ 。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \ln (\cos (x))}$

解题步骤 7.5

分离分数。

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 7.6

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

解题步骤 7.7

组合 $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ 和 $\tan (x)$ 。

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

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