微积分学示例

$y = \sqrt{x^{2} + x} - x$

解题步骤 1

求 $y$ 在 $x = - 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \sqrt{(- 1) ((- 1) + 1)} - (- 1)$

解题步骤 1.2

化简结果。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = \sqrt{- 1 \cdot 0} - (- 1)$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (- 1) = \sqrt{0} - (- 1)$

解题步骤 1.2.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (- 1) = \sqrt{0^{2}} - (- 1)$

解题步骤 1.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 1) = 0 - (- 1)$

解题步骤 1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 0 + 1$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 1$

解题步骤 1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.3

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 2

求 $y$ 在 $x = - 2$ 的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \sqrt{(- 2) ((- 2) + 1)} - (- 2)$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2) = \sqrt{- 2 \cdot - 1} - (- 2)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2) = \sqrt{2} - (- 2)$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = \sqrt{2} + 2$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $\sqrt{2} + 2$ 。

$\sqrt{2} + 2$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $\sqrt{2} + 2$ 。

$y = \sqrt{2} + 2$

解题步骤 3

求 $y$ 在 $x = - 3$ 的值。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \sqrt{(- 3) ((- 3) + 1)} - (- 3)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$f (- 3) = \sqrt{- 3 \cdot - 2} - (- 3)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 3) = \sqrt{6} - (- 3)$

解题步骤 3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 3) = \sqrt{6} + 3$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\sqrt{6} + 3$ 。

$\sqrt{6} + 3$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = - 3$ 处的值为 $\sqrt{6} + 3$ 。

$y = \sqrt{6} + 3$

解题步骤 4

求 $y$ 在 $x = 0$ 的值。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{(0) ((0) + 1)} - (0)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $0$ 乘以 $0 + 1$ 。

$f (0) = \sqrt{0} - (0)$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{0^{2}} - (0)$

解题步骤 4.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 - (0)$

解题步骤 4.2.4

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.3

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 5

求 $y$ 在 $x = 1$ 的值。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \sqrt{(1) ((1) + 1)} - (1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $1 + 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{1 + 1} - (1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \sqrt{2} - (1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{2} - 1$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $\sqrt{2} - 1$ 。

$\sqrt{2} - 1$

解题步骤 5.3

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $\sqrt{2} - 1$ 。

$y = \sqrt{2} - 1$

解题步骤 6

求 $y$ 在 $x = 2$ 的值。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{(2) ((2) + 1)} - (2)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \sqrt{2 \cdot 3} - (2)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (2) = \sqrt{6} - (2)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \sqrt{6} - 2$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $\sqrt{6} - 2$ 。

$\sqrt{6} - 2$

解题步骤 6.3

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $\sqrt{6} - 2$ 。

$y = \sqrt{6} - 2$

解题步骤 7

列出绘制图像所需的点。

$(- 1, 1), (- 2, 3.41421356), (- 3, 5.44948974), (0, 0), (1, 0.41421356), (2, 0.44948974)$

解题步骤 8

选择某些点来画图。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5.449 \\ - 2 & 3.414 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.414 \\ 2 & 0.449 \end{array}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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