微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ , $x = 1$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 10 x + 0$

解题步骤 3.2

将 $4 x^{3} - 10 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 10 x$

解题步骤 4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$4 {(1)}^{3} - 10 \cdot 1$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1 - 10 \cdot 1$

解题步骤 5.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 10 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$4 - 10$

解题步骤 5.2

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$- 6$

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