微积分学示例

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8.3

组合 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 和 $7$ 。

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

解题步骤 1.1.3.8.4

将 $7$ 移到 $x - 1 - (x + 1)$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

对 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.2

运用分配律。

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.3

运用分配律。

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4

合并项。

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解题步骤 1.1.4.4.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.5

从 $7 x$ 中减去 $7 x$ 。

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.6

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.7

从 $- 7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 1.1.4.4.9

将 $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ 乘以 $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.4.10

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{6}$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.10.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

解题步骤 1.1.4.4.10.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

解题步骤 1.1.4.4.11

将 $14$ 移到 ${(x + 1)}^{6}$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ 。

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ 中的每一项除以 $14$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ 中的每一项都除以 $14$ 。

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 ${(x + 1)}^{6}$ 除以 $1$ 。

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $14$ 。

${(x + 1)}^{6} = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 1)}^{8} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$0^{7}$

解题步骤 4.1.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

解题步骤 4.2.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 1, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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