微积分学示例

$- \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $- \frac{2 (x + h)}{y}$ 。

$- \frac{2 (x + h)}{y}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} - (- \frac{2 x}{y})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $- - \frac{2 x}{y}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + 1 (\frac{2 x}{y})}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{2 x}{y}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + \frac{2 x}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3

以因式分解的形式重写 $\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $- 2 (x + h) + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.1

从 $- 2 (x + h)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 x}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 (x)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.1.3

从 $2 (- (x + h)) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h) + x)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- x - h + x)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- h + 0)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (- 1 h)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.5

合并指数。

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解题步骤 4.1.3.5.1

提取负因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (2 h)}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 h}{y}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 h}{y}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{2 h}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2}{y}$

解题步骤 5

计算 $- \frac{2}{y}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 6

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