微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

解题步骤 1

使 $u = \sin (t)$ 。然后使 $d u = \cos (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$\cos (t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

解题步骤 2

使 $u = \tan (t_{1})$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t_{1})$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ 。

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解题步骤 3.1.1

重新整理项。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 3.1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 3.2

约去 $\sec (t_{1})$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $\sec^{2} (t_{1})$ 中分解出因数 $\sec (t_{1})$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 4

$\sec (t_{1})$ 对 $t_{1}$ 的积分为 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 。

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 6.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

解题步骤 6.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

解题步骤 6.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

解题步骤 6.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 6.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1.1.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.2.6.5

计算指数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.1

约去公因数。

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.1.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ 约为 $2.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

解题步骤 7.3

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

小数形式：

$0.88137358 \dots$

微积分学 示例

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