微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{π^{2}}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ 。

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.78121189$ 。

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

解题步骤 7.3

将 $0.78121189$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $1.78121189$ 。

$\frac{1.78121189}{2}$

解题步骤 7.5

用 $1.78121189$ 除以 $2$ 。

$0.89060594$

微积分学 示例

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