微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.4

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.5

将 $4 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{2} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} t + C$

解题步骤 4

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$

微积分学 示例

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