微积分学示例

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

重新整理项。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.1.2

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.1.3

将 ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.1.4

将 $\sec^{6} (t)$ 重写为 ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

约去 $\sec^{2} (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 3.2.1.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 3.2.2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\int 1 \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (t) d t$

解题步骤 4

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$\sin (t) + C$

解题步骤 5

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\sin (\arctan (x)) + C$

微积分学 示例

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