微积分学示例

$\int \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{6} (x)} d x$

解题步骤 1.2

从 $\sin^{6} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{4} (x)$ 。

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x) \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 1.3

分离分数。

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

解题步骤 1.4

将 $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)}$ 转换成 $\cot^{4} (x)$ 。

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

解题步骤 1.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{4} (x) d x$

解题步骤 1.7

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\int \csc^{2} (x) \cot^{4} (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \cot (x)$ 。然后使 $d u = - \csc^{2} (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \cot (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\cot (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- \csc^{2} (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 u^{4} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{4} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 5

将 $- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{5} u^{5} + C$ 。

$- \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 6

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{5} \cot^{5} (x) + C$

微积分学 示例

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