微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{1 + \ln (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + \ln (x)$ 。

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + \ln (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $1 + \ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{1 + \ln (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \ln (x) - 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 和 $\ln (x)$ 相加。

$\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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