微积分学示例

$\ln (\cos (x^{2}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 转换成 $\sec (x^{2})$ 。

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ 的因式。

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 5.2

将 $\sec (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 5.3

乘以 $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ 。

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解题步骤 5.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 。

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 5.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 5.4

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 5.6

组合 $\sin (x^{2})$ 和 $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ 。

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 5.7

将 $2$ 移到 $\sin (x^{2})$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 5.8

分离分数。

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

解题步骤 5.9

将 $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ 转换成 $\tan (x^{2})$ 。

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

解题步骤 5.10

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$- (2 x \tan (x^{2}))$

解题步骤 5.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x \tan (x^{2})$

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