微积分学示例

$p (t) = \frac{2000 t}{4 t + 75}$

解题步骤 1

因为 $2000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2000 t}{4 t + 75}$ 对 $t$ 的导数是 $2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$ 。

$2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 4 t + 75$ 。

$2000 \frac{(4 t + 75) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2000 \frac{(4 t + 75) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $4 t + 75$ 乘以 $1$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 t + 75$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $75$ 对于 $t$ 是常数，所以 $75$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + 0)}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简项。

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解题步骤 3.8.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$2000 \frac{4 t + 75 - t \cdot 4}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2000 \frac{4 t + 75 - 4 t}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

从 $4 t$ 中减去 $4 t$ 。

$2000 \frac{0 + 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4

将 $0$ 和 $75$ 相加。

$2000 \frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8.5

组合 $2000$ 和 $\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$ 。

$\frac{2000 \cdot 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

解题步骤 3.8.6

将 $2000$ 乘以 $75$ 。

$\frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$

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